Question

如图，抛物线y=x²-x+c分别交x轴的负半轴和正半轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴的负轴于点C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，动点P从点A出发向终点B运动，同时动点Q从点B出发向终点C运动，P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，且当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间是t秒．

（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

Answer

（1）在Rt△OAC和Rt△OBC中，分别表示出∠OAC和∠OBC的正切值，根据题目给出的两者的等量关系，即可证得所求的结论；
（2）根据韦达定理，即可求出A、B横坐标的和与积的表达式，联立OB、OA的比例关系，即可求出A、B的坐标及c的值，进而可确定抛物线的解析式；
（3）由于∠PBQ＜90°，因此若△PBQ是直角三角形，应该有两种情况：①∠BPQ=90°；②∠PQB=90°；可分别用t表示出BP、BQ的长，再根据∠OBC的余弦值列方程求出t的值；
（4）可用t分别表示出BP、BQ、PQ的长，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况，列方程求出t的值．
【解析】
（1）由条件得：=2×
∴OB=2OA．

（2）由条件与第（1）题的结论得：-2x1=x2，
根据抛物线对称轴可得，x1+x2=2，
x1x2=c，
解得：x1=-2，x2=4，c=-3；
抛物线的解析式；y=x2-x-3；

（3）由条件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=x2-x-3中y=0，得到3x2-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根据勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC==，
在直角三角形PBQ中，分BQ为斜边或PB为斜边，
可得=或=，
∴t=秒或t=秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ==，
t=6-t，
∴t=3秒
或=
∴t=秒；
或=6-t，
∴t=0（舍去），t=．