Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S_△ABP=S_△ABC，这样的点P有______个．

Answer

（1）根据直线BC的解析式，可求得B、C的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）令抛物线的解析式中y=0，即可求出A点的坐标，以AB为底，OC为高即可得到△ABC的面积；
（3）△ABP和△ABC同底，那么面积比等于高的比，所以P点到AB的距离是OC长的一半，由此可求出P点纵坐标的绝对值，在x轴上、下方的抛物线上各有两个符合条件的P点，所以共有4个．
【解析】
（1）∵直线y=-x+3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，3）；
已知抛物线经过B、C两点，则有：
，
解得；
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）令（1）所得的抛物线中y=0，得-x2+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴AB=4，OC=3；
S△ABC=AB•OC=×4×3=6；

（3）∵S△ABC=AB•OC，S△ABP=AB•|yP|，且S△ABP=S△ABC，
∴|yP|=OC=1.5，
即P点的纵坐标为±1.5；
由函数的图象知，符合条件的P点共有4个．