Question

如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=，∠DAB=45°，AB=3，如果把该平行四边形折叠，点A恰好与点C重合，那么折痕EF的长为    ．

Answer

由于已知∠DAB=45°，AD=，可以构造45°的直角三角形△ADG，利用勾股定理可求AG、GD，由折叠可证四边形AECF为菱形，利用勾股定理，在Rt△AGE中求菱形边长，在Rt△AGC中求菱形对角线AC的长，根据菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF．
【解析】
如图，过A点作CD的垂线，与CD的延长线交于G点，连接AE，CF，
∵AD=，∠DAB=45°，
∴△ADG为等腰直角三角形，AG=GD=1，
设AE=x，由折叠可知，EC=AE=x，DE=3-x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG2+GE2=AE2，
即：12+（1+3-x）2=x2，解得x=；
在Rt△AGC中，由勾股定理得：
AC===，
∵EF⊥AC，根据菱形AECF计算面积的方法可知，
AG×EC=×EF×AC，即1×=×EF×，
解得：EF=．