Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer

（1）已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把C（0，-2）代入即可；
（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；
（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．
【解析】
（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2．

（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m，
则点P的纵坐标为，
当1＜m＜4时，
AM=4-m，PM=，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当==2时，△APM∽△ACO，
∴=2，即|4-m|=2（），
∴4-m=m2+5m-4，
∴m2-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m1=2，m2=4（舍去）
∴P（2，1）
②当，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=，
∴2（4-m）=-m2+m-2，
∴m2-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m＞4时，P（5，-2），
当m＜1时，P（-3，-14），
当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，-2）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）；

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为（t，t-2）．
∴DE=-t2+t-2-（t-2）=-t2+2t．
∴S△DAC=×（-t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．