Question

如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM=ND．

Answer

（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆．
（2）连接AC交BD于O，则O是该圆的圆心，OM=ON，所以易证BM=ND．
证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°．
∴∠AEC+∠AFC=180°．
∴A、E、C、F四点共圆；

（2）由（1）可知，圆的直径是AC，设AC、BD相交于点O；
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴OB-OM=OD-ON，
∴BM=DN．