Question

如图，是一块含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为O），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE=CE；
（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是______．
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是______；
③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y=______．

Answer

（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE=∠ABE，只要证明：∠CBE=∠BCE即可证明BE=CE；
（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO=AO，可以得出∠OCA=∠CAB=30°，即可求出点E处的度数；
②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE=∠ACE=45°，即可求出点E处的度数；
③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是：y=2x．
（1）证明：连接BE，如图所示：
∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转
∴当旋转7.5秒时，∠ACE=7.5×2°=∠ABE=15°
又∵∠CAB=30°，∠CBA=60°，∠ACB=90°
∴∠CBE=75°，∠BCE=90°-15°=75°，即：∠CBE=∠BCE=75°
∴BE=CE．

（2）【解析】
①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO=AO；
∴∠OCA=∠CAB=30°，∠AOE=60°
∴点E处的读数是120°．
②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，
圆周角∠BCE=°=45°，圆心角为90°，
∴点E处的读数是90°．
③设旋转x秒后，E点出的度数为y°，由题意得：
y与x的函数式是：y=180-4x（0＜x≤90）．