Question

如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）试说明：BP=DP；
（2）如图2，若正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请画图用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与正方形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论；
（4）旋转的过程中AP和DF的长度是否相等？若不等，直接写出AP：DF=______

Answer

（1）求简单的相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ADP≌△ABP即可．
（2）显然BP、PD不会总是相等，例如：当P不在直线AC上时，连接AP，显然∠BAP≠∠DAP，那么△BAP、△DAP不全等，因此BP、PD不会相等．
（3）此题较简单，例如选线段DF、BE，当P位于直线AC上时，显然两者相等；若P不位于直线AC上时，可通过证△BCE≌△DCF来证得所求的结论．
（4）AP、DF显然不相等，图2中，连接AP，证△APC∽△DFC即可．
（5）连接BD，由于BD是定值，那么△PBD面积的大小与P到直线BD的距离有关；因此当△BPD得面积最小或最大时，点P都位于直线AC上，可据此求解．
【解析】
（1）证明：如图1；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°；
又∵AP=AP，
∴△BAP≌△DAP，
∴BP=PD．

（2）BP、PD不会总相等；理由如下：
如图2，连接AP；
当P不在直线AC上时，∠BAP≠∠DAP，
∴△BAP与△DAP不全等，故BP≠PD．

（3）选连接DF、BE；
证明：①当P在线段AC上时，由于CF=CE，BC=CD；
则DF=BE=BC-CE=CD-CF；
②当P不在直线AC上时，连接BE、DF；
∵BC=CD、CF=CE、∠BCE=∠DCF（旋转角），
∴△DCF≌△BCE，即BE=DF；
③当P在线段AC的延长线上时，证法同①；
综上可知：连接DF、BE，则DF、BE的长总相等．

（4）连接AP、PC；
∵四边形ABCD、四边形CFPE都是正方形，
∴；
又∵∠ACP=∠DCF=45°-∠ACF，
∴△ACP∽△DCF，得：AP：DF=：1．

（5）连接BD，由于BD是定值，而P到直线BD的距离随正方形FPEC的旋转而改变，因此△PBD的面积不是定值；
①如图①，当P在线段AC上时，P到直线BD的距离最小，此时△PBD的面积最小；
易知：OC=2，PC=，则OP=OC-PC=；
∴△PBD的面积：Smin=×BD×OP=×4×=4；
②如图②，当P在线段AC的延长线上时，P到直线BD的距离最大，此时△PBD的面积最大
易知此时：OP=OC+CP=3；
∴△PBD的面积：Smax=×BD×OP=×4×3=12．
综上可知：△PBD的面积存在最大和最小值；
且最大值为12，最小值为4．