Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想：图中在不连接其它线段的情况下，共有多少对全等三角形（不包含△ABC≌△A₁BC₁）？将它们全部写出来，并且选一组全等三角形进行证明；
（2）如图2，当a=30°时，求ED的长．

Answer

（1）因为AB=BC，由旋转的性质可知，∠A=∠C=∠C1，AB=BC=BC1，∠ABE=∠C1BF，可证△ABE≌△C1BF；由△ABE≌△C1BF得BE=BF，故AE=AB-BE=BC-BF=CF，∠A1=∠C，可证△DAE≌△DCF；由△DAE≌△DCF得DE=DF，及BE=BF，BD=BD，可证△DEB≌△DFB；由A1B=BC，A1D=DC，BD=BD，可证△ABD≌△C1BD；同理可证△A1BD≌△CBD．
（2）当a=30°时，在△ABE中，∠A=∠EBA=30°，AB=2，作EG⊥AB，垂足为G，解直角三角形求BE．
【解析】
（1）共5组：△ABE≌△C1BF，△DAE≌△DCF，△DEB≌△DFB，△ABD≌△C1BD，△A1BD≌△CBD；

（2）当a=30°时，如图2，作EG⊥AB，垂足为G，
∵在△ABE中，∠A=∠EBA=30°，AB=2，
∴AG=AB=1，在Rt△AEG中，AE==，
∴DE=AD-AE=AB-AE=．