Question

（1）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，并经过点（-1，2），（1，0）．下列命题其中一定正确的是______．
（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
①当x≥0时，函数值y随x的增大而增大
②当x≤0时，函数值y随x的增大而减小
③存在一个正数m，使得当x≤m时，函数值y随x的增大而增大；当x≥m时，函数值y随x的增大而减小
④存在一个负数m，使得当x≤m时，函数值y随x的增大而增大；当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，
⑤a+2b＞-2c
（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
请探索：是否存在这样的点M，使得线段PB最短；若存在，请求出此时点M的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将两点的坐标代入抛物线的解析式中，可得a+c=1，b=-1．因此a+2b+2c=a-2+2（1-a）=-a，由于抛物线开口向下，因此a＜0，所以a+2b+2c＞0，即a+2b＞-2c．所以⑤成立．
已得出抛物线的解析式为y=ax2-x+1-a，抛物线的对称轴为x=，a＜0，因此抛物线的对称轴在y轴左侧．
因此x≥0时，y随x的增大而减小．
当x≤时，y随x的增大而增大．
当＜x＜0时，y随x的增大而减小．
∴④⑤正确，而①②③错误．
（2）可先求出直线OA的解析式，然后根据直线OA的解析式设出M点的坐标，由于M是抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将x=2代入抛物线的解析式中，即可求出P点的纵坐标即PB长的表达式，可根据此函数的性质来求出PB的最大值及对应的M的坐标．
【解析】

（1）④⑤

（2）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x
∵设顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．
∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
∴顶点M的坐标为（1，2）．