Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，所以可设y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求出答案；
（2）因为点C为线段AB上的一动点，CD⊥x轴于点D，所以可设点C坐标为（x，x+），那么OD=x，CD=x+，利用梯形的面积公式可列出关于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（3）因为∠AOB=90°，所以以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似需分情况探讨：
当∠OBP=90°时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，P1（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1，P2（1，）．
③过点P作OP⊥BC于点P，此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，OP=BP，过点P作PM⊥OA于点M，∠OPM=30°，OM=OP，PM=OM，从而求得P的坐标．
④若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，所以PM=OM，P4（，）；当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
【解析】
（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，
把A，B的坐标代入得k=-，b=
所以直线AB的解析为：y=x+．

（2）方法一：设点C坐标为（x，x+），那么OD=x，CD=x+．
∴S梯形OBCD==x．
由题意：x=，
解得x1=2，x2=4（舍去），
∴C（2，）（1分）
方法二：∵，S梯形OBCD=，∴．
由OA=OB，得∠BAO=30°，AD=CD．
∴S△ACD=CD×AD==．可得CD=．
∴AD=1，OD=2．∴C（2，）．

（3）当∠OBP=90°时，如图

①若△BOP∽△BAO，
则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P1（3，）．（2分）
②若△BPO∽△BAO，
则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P2（1，）．（1分）
当∠OPB=90°时
③过点P作OP⊥BA于点P（如图），
此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，
OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．∴P3（，）．
方法二：设P（x，x+），得OM=x，
PM=x+，
由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==，tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此时P3（，）．
④若△POB∽△OBA（如图），
则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30度．
∴PM=OM=．
∴P4（，）（由对称性也可得到点P4的坐标）．
当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：P1（3，），P2（1，），P3（，），P4（，）．