Question

如图，已知C、D是双曲线，y=在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），连接OC、OD．
（1）求证：y₁＜OC＜y₁+；
（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana=，OC=，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y1，OG=x1，根据直角三角形中斜边大于直角边，以及两边之和大于第三边即可求解；
（2）已知OC的长，以及tanα的值，在直角△OCG中，即可解得OG，CG的长，得到C点的坐标；利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，再根据tanα的值即可求得D点的坐标，把C，D两点的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（3）根据C，D两点的坐标可以得到OC=OD，使S△POC=S△POD，即P到OC与OD的距离相等，则P一定在∠COD的角平分线上，即是∠COD的平分线与双曲线y=的交点．
（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y1，OG=x1．（1分）
∵点C（x1，y1）在双曲线y=上，
∴x1=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，∴y1＜OC＜y1+（3分）

（2）【解析】
在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
tana=，即，y1=3x1
∵OC2=OG2+CG2，OC=，
∴10=x12+y12，即10=x12+（3x1）2
解之，得x1=±1．∵负值不合题意，∴x1=1，y1=3．∴点C的坐标为（1，3）．（4分）
∵点C在双曲线y=上，
∴3=，即m=3
∴双曲线的解析式为y=（5分）
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH=y2，OH=x2
在Rt△ODH中，tana===，即x2=3y2
又y2=，则3y22=3．
解之，得y2=±1．
∵负值不合题意，∴y2=1，x2=3
∴点D的坐标为（3，1）（6分）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
则有，解得．
∴直线CD的解析式为y=-x+4．（7分）

（3）【解析】
双曲线y=上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点P就是
∠COD的平分线与双曲线y=的交点（8分）
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD====OC
∴S△POD=S△POC．（10分）