Question

在直角坐标系中，抛物线y=x²-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为，求这时点D的坐标．

Answer

（1）欲求抛物线的解析式，需求出m、n的值，根据抛物线的解析式，易得顶点A的坐标，然后将x=1代入抛物线的解析式中，可得点C的坐标，即可根据AC的长得到第一个关于m、n的等量关系式；由于抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，即根的判别式△=0，联立两个关于m、n的式子即可求出m、n的值，从而得到该抛物线的解析式．
（2）根据（1）的抛物线解析式可求得点B的坐标，即可得到OB的长；过O作OM⊥BD于M，根据题意可知OM=，进而可利用勾股定理求得BM的长；在△EOF中，OM⊥EF，易证得△OBM∽△FOM，根据相似三角形所得比例线段即可求得OF的长，也就得到了F点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点D的坐标．
【解析】
（1）根据题意，画出示意图如答图所示，过点C作CE⊥x轴于点E；

∵抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，
∴A（m，0），
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m；
由已知得，
由（1）得n=m2-1；（3）
把（3）代入（2），得（m2-2m+1）2+（m2-2m+1）-90=0，
∴（m2-2m+11）（m2-2m-8）=0，
∴m2-2m+11=0（4）或m2-2m-8=0（5）；
对方程（4），
∵△=（-2）2-4×11=-40＜0，
∴方程m2-2m+11=0没有实数根；
由解方程（5），
得m1=4，m2=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入（3），得n=3，
∴抛物线的关系式为y=x2+4x+4

（2）∵直线DB经过第一、二、四象限；
设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，
∵点O到直线DB的距离为，
∴OM=，
∵抛物线y=x2+4x+4与y轴交于点B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∴BM=；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴，
∴，
∴OF=2BO=8，F（8，0）；
∴直线BF的关系式为y=-x+4；
∵点D既在抛物线上，又在直线BF上，
∴，
解得，
∵BD为直线，
∴点D与点B不重合，
∴点D的坐标为．