Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=126°，则∠CAD等于（ ）

A．36°
B．42°
C．38°
D．27°

Answer

由于D是弧AC的中点，可知∠ABC=2∠ACD；由于半径AO⊥BC，由垂径定理易证得AB=AC，即∠ACB=∠ABC=2∠ACD，由圆内接四边形的性质知：∠BCD=∠DAE=126°，由此可求出∠ACD的度数；而∠DAC和∠DCA是等弧所对的圆周角，则∠DAC=∠DCA，由此得解．
【解析】
∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半径，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，
∵D是的中点，
∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，
∴∠ACB=2∠DCA，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=∠DAE=126°，
∴∠ACB+∠DCA=126°，
即3∠DCA=126°，
∴∠DAC=∠DCA=42°．
故选B．