Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，折叠梯形ABCD，使点B与点D重合，EF为折痕，且DF⊥BC，下列结论：
①△BFD为等腰直角三角形；②△ABD∽△ADE；③EF∥AC；④AD+FC＞DF
其中正确的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②③
D．①③

Answer

根据等腰梯形及折叠的性质对条件进行判断即可．
【解析】
由折叠的性质知：EF垂直平分BD；
∴EF⊥BD，BF=DF；
又∵DF⊥BF，
∴△BDF是等腰直角三角形；故①正确；
∴∠DBF=45°；
易证得△DBC≌△ACB，得∠ACB=∠DBC=45°；
∴∠BNC=90°；
∴EF∥AC；故③正确；
过A作AG⊥BC，则BG=FC；
∴DF=BF=BG+GF=AD+FC；故④错误；
若②成立，则∠AED=∠BDA，∠ADE=∠ABD；
由折叠的性质知：∠ABD=∠EDB，
∴∠ADE=∠BDE，即DE平分∠ADB；
由于没有条件能直接证明DE是∠ADB的平分线，故②不一定成立；
所以正确的结论是①③，故选D．