Question

在锐角△ABC中，a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边，O为其外心，则O点到三边的距离之比为（ ）
A．a：b：c
B．
C．cosA：cosB：cosC
D．sinA：sinB：sinC

Answer

此题可分别过三角形的三个顶点作⊙O的直径，在构建的直角三角形中，根据圆周角定理和三角形中位线定理来求得三条弦心距的比例关系．
【解析】
如图，过A作⊙O的直径AG，连接BG，设⊙O的半径为R；
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG=90°；
∵OD⊥AB，
∴OD∥BG；
又∵O是AG的中点，
∴OD是△ABG的中位线，即BG=2OD；
Rt△ABG中，∠G=∠C，
∴BG=AG•cosG=2R•cosC；
∴OD=R•cosC，即O到AB边的距离为R•cosC；
同理可证得：OE=R•cosA，OF=R•cosB；
∴点O到三边的距离之比为：（R•cosA）：（R•cosB）：（R•cosC）=cosA：cosB：cosC；
故选C．