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已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC. (1)将△PAB绕点B...

已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.
(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1).
①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;
②若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长;
(2)如图2,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角线AC上.

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(1)△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差,且这两个扇形的圆心角同为90度; (2)连接PP′,证△PBP′为等腰直角三角形,从而可在Rt△PP′C中,用勾股定理求得PC=6; (3)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠P′CP=90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上. 【解析】 (1)①S阴影=S扇形ABC+S△BP′C-S扇形PBP′-S△ABP =S扇形ABC-S扇形PBP′ =, =(a2-b2); ②连接PP′, 根据旋转的性质可知: BP=BP′,∠PBP′=90°; 即:△PBP′为等腰直角三角形, ∴∠BPP′=45°, ∵∠BPA=∠BP′C=135°,∠BP′P=45°, ∴∠BPA+∠BPP′=180°, 即A、P、P′共线, ∴∠PP′C=135°-45°=90°; 在Rt△PP′C中,PP′=4,P′C=PA=2,根据勾股定理可得PC=6. (2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,连接PP′. 同(1)①可知:△BPP′是等腰直角三角形,即PP′2=2PB2; ∵PA2+PC2=2PB2=PP′2, ∴PC2+P′C2=PP′2, ∴∠P′CP=90°; ∵∠PBP′=∠PCP′=90°,在四边形BPCP′中,∠BP′C+∠BPC=180°; ∵∠BPA=∠BP′C, ∴∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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