Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，动点P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直线PA、PB分别交⊙O₁于C、D，问：⊙O₁的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．

Answer

连接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值，与P的位置无关．
【解析】
当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关，
证明：如图，连接AD，
∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，
∴∠ADP为定值，
∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，
∴∠P为定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD为定值，
∵在⊙O1中∠CAD对弦CD，
∴CD的长与点P的位置无关．