Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为______；当点E与点A重合时，折痕EF的长为______

Answer

（1）当x=0时，点A与点P重合，则折痕EF的长等于矩形ABCD中的AB，当点E与点A重合时，折痕是一个直角的角平分线，可求EF=；
（2）由题意可知，EF垂直平分线段DP，要想使四边形EPFD为菱形，则EF也应被DP平分，所以点E必须要在线段AB上，点F必须在线段DC上，即可确定x的取值范围．再利用勾股定理确定菱形的边长．
（3）构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值，再利用二次函数的增减性确定y的最大值．
【解析】
（1）当x=0时，折痕EF=AB=3，当点E与点A重合时，折痕EF==．

（2）1≤x≤3．
当x=2时，如图，连接PE、PF．
∵EF为折痕，
∴DE=PE，
令PE为m，则AE=2-m，DE=m，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2
∴1+（2-m）2=m2，解得m=；
此时菱形边长为．

（3）如图2，过E作EH⊥BC；
∵△EFH∽△DPA，
∴，
∴FH=3x；
∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；
当F与点C重合时，如图3，连接PF；

∵PF=DF=3，
∴PB=，
∴0≤x≤3-2；
∵函数y=9+9x2的值在y轴的右侧随x的增大而增大，
∴当x=3-2时，y有最大值，
此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．
综上所述，当y取最大值时△EAP∽△PBF，x=3-2．