Question

如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．

Answer

（1）根据题意，作出图示；分析可得：AM=8，且△ADE∽△ABC，进而可得，解可得答案．
（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，依据平行线以及正方形的性质，可得二次函数，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值．
【解析】

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴，
而AN=AM-MN=AM-DE，∴，
解之得DE=4.8．∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，

（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，
如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，∴y=x2，
此时x的范围是0＜x≤4.8，
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（3），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
即，而AN=AM-MN=AM-EP，
∴，解得EP=8-x．
所以y=x（8-x），即y=-x2+8x，
由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，
当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，
当4.8＜x＜12时，因为，
所以当时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大=-×62+8×6=24；
因为24＞23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．