Question

已知抛物线上有不同的两点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

Answer

（1）求抛物线的解析式关键是求出b的值，根据E、F的坐标可发现，E、F关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出b的值及抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°，可证△BCM∽△AMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式；
（3）将点F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出F点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF的解析式，然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值．（需注意的是此题要分MP、MQ过F的两种不同情况分类讨论）
【解析】
（1）抛物线的对称轴为；（1分）
∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k≠-2；
∴抛物线的解析式为；（2分）

（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=，AM=BM=；（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴，即，；
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k2+1）在上，
∴将F代入函数解析式得：，
化简得，k2-4k+3=0，∴k1=1，k2=3；
即F1（-2，0）或F2（-4，-8）；（6分）
①MF过M（2，2）和F1（-2，0），设MF为y=kx+b，
则，解得；
∴直线MF的解析式为；
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（-2，0），则n1=4-1=3，m1=；
若MQ过点F（-2，0），则m2=4-（-2）=6，n2=；（7分）
②MF过M（2，2）和F2（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则，解得；
∴直线MF的解析式为；
直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）；
若MP过点F（-4，-8），则n3=4-（）=，m3=；
若MQ过点F（-4，-8），则m4=4-=，n4=；（8分）
故当，，或时，∠PMQ的边过点F．