Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer

（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；
（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有S△ADQ=AD•QE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有解得AP值；
（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性质知，①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形，②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．
（1）证明：在正方形ABCD中，
无论点P运动到AB上何处时，都有
AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ；

（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，
过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，
∵在边长为4的正方形ABCD中，
∴S正方形ABCD=16，
∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=，
∴QE=，
∵EQ∥AP，
∴△DEQ∽△DAP，
∴，即=，
解得AP=2，
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．
AD×QE=S正方形ABCD=×16=，
∴QE=，
∵点Q在正方形对角线AC上，
∴Q点的坐标为（，），
∴过点D（0，4），Q（，）两点的函数关系式为：y=-2x+4，
当y=0时，x=2，
∴P点的坐标为（2，0），
∴AP=2时，即当点P运动到AB中点位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）【解析】
若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P为C点，
②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P为B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=BC-BC=（-1）BC
∵AD∥BC
∴=，即可得==1，
∴CP=CQ=（-1）BC=4（-1）
综上，P在B点，C点，或在CP=4（-1）处，△ADQ是等腰三角形．