Question

已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，
（1）如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，则有AD∥BC；
（2）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答______；
（3）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：______．
请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明．

Answer

欲证AD∥BC，可以根据等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性质，证明△ACD∽△BCE，再证明AD与BC的内错角相等，得出结论．
【解析】
（1）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=45°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=45°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．

（2）∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=60°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．
成立．

（3）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．