Question

如图①、②在▱ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F、G，AF与BG相交于点E．
（1）在图①中，求证：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在图②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长．

Answer

（1）先设∠DAF=∠2，∠BAF=∠1，∠ABG=∠3，∠GBC=∠4．利用角平分线的性质可知，∠1=∠2=∠BAD，∠3=∠4=∠ABC，再利用平行四边形的邻角互补，可证垂直；再利用其对边平行，又可得∠1=∠F，∠3=∠G，等量代换，可得边相等，又有平行四边形的对边相等，可证；
（2）可利用和（1）相同的证法可得．延长BG、AD交于点H，利用角平分线的性质以及平行四边形的对边平行，可得DG=DH，AB=AH，即可求DH=DG=4，那么FG=2，又△FEG∽△AEB，可得相似比，能求出EG、BE的长，利用勾股定理，可求出AE，EF的长，那么AF就可求．
（1）证明：如图①，在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC=180°
∵AF、BG分别平分∠BAD和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，
∴在△AEB中，∠AEB=90°，知AF⊥BG．
又有平行四边形ABCD中，AB∥CD，即AB∥FG，
可得∠1=∠F，而∠1=∠2，
∴∠2=∠F，
∴在△DAF中，DF=AD（4分）
同理可得，在△CBG中，CG=BC，
∵平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DF=CG；

（2）【解析】
如图②，平行四边形ABCD中，CD=AB=10，BC=AD=6，
由（1）和题意知，DF=AD=6，CF=CD-DF=4，
同理可得，CG=BC=6，
∴FG=CG-CF=2．

解法一：过点A作AH∥BG，交CD的延长线于H点（9分）
则四边形ABGH是平行四边形，且AH⊥AF
∴AH=BG=4，GH=AB=10，∴FH=FG+GH=12（10分）
在Rt△FAH中，；

解法二：过点C作CM∥AF，分别交AB、BG于点M、N（9分）
则四边形AMCF是平行四边形，CM=AF，且CM⊥BG于点N，
在等腰△BCM中，CN=NM，即CM=2CN
在等腰△CBG中，BN=NG=BG=2，
在Rt△BNC中，，
∴AF=CM=2CN=8；

解法三：平行四边形ABCD中，AB∥CD，题知AF⊥BG，
∴Rt△ABE∽Rt△FGE，得，
而GE=BG-BE，
∴=，
解得BE=，
∴GE=4-=（10分）
在Rt△AEB中，AE=，
在Rt△FEG中，EF=，
∴AF=AE+EF=8．