Question

如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A₁B⊥AC，过A₁作A₁B₁⊥BC，得阴影Rt△A₁B₁B；再过B₁作B₁A₂⊥AC，过A₂作A₂B₂⊥BC，得阴影Rt△A₂B₂B₁；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为    ．

Answer

根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了．
【解析】
易得△ABA1∽△BA1B1，
∴相似比为A1B：AB=sin∠A=4：5，
那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
那么所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2×=．