Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为线段AB上的一个动点（可以与A、B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（CB延长线或BC的延长线）于点D．
（1）记BP的长为x，△BMP的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PH⊥BC于H，易证得△BPH∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式；
（2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论；
一、D在BC上，
①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△BCA，同①可求得x的值；
二、D在BC延长线上时；
由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似；
综合两种情况，可得出符合条件的x的值．
【解析】
（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
 但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPH∽△BAC，得：
，PH==x；
∴y=×4×x=x（0≤x≤10 且x≠5）；

（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；
MP=x，AB=10，MH=2，BC=8，
此时△MPD∽△BCA，
∴△MPD∽△MHP，
∴△MHP∽△BCA，
，
得：，解得；
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：=，即DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；

综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2．