Question

如图，是直径，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为.

（1）求证:平分；

（2）若半径为5，，求的长.

Answer

（1）见解析；（2）8

【解析】

(1)想要证明AC平分∠BAD，只需要证明∠DAC=∠CAO即可.连接CO，有已知可得，CD为圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以AD∥OC，所以∠DAC=∠ACO，在等腰三角形AOC中，∠CAO=∠ACO，所以∠DAC=∠CAO，所以AC平分∠BAD.

(2)过点O作AD的垂线，交AD于点E，有已知可得四边形OCDE为矩形，所以OE=CD=4，在Rt△AOE中，AE==3，所以AD=AE+DE=AE+CO=3+5=8.

（1）证明:如图1，连接，

∵直线切半圆于点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分；

（2）如图2，过点作于点，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

∴．