Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）用t的代数式表示：AE=　   　；DF=　   　；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）2t，2t；（2）当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=s或12s时，△DEF是直角三角形．

【解析】

试题

（1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，这样结合已知条件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t；

（2）由（1）可知，AE=DF，结合AE∥DF可得四边形AEFD是平行四边形，由此可得当AD=AE，即60-4t=2t时，四边形AEFD是菱形，解此关于t的方程即可求得对应的t的值；

（3）如图1和图2，根据题意分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况结合已知条件分析、计算即可得到对应的t的值.

试题解析：

（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t，

故答案为2t，2t；

（2）∵DF⊥BC

∴∠CFD=90°

∵∠B=90°

∴∠B=∠CFD

∴DF∥AB，

由（1）得：DF=AE=2t，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：t=10，

即当t=10时，▱AEFD是菱形；

（3）分两种情况：

①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t=60﹣4t，

∴t=

②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD=AE，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

综上所述，当t=s或12s时，△DEF是直角三角形．