Question

如图，抛物线与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作轴于点C，且点C的坐标为.

（1）求直线AB的表达式；

（2）若直线轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；

（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标.

Answer

（1）；（2）线段MN长度的最大值为；（3）当点Q的坐标为或时，四边形MNCB是平行四边形.

【解析】

（1）先求出点A、B的坐标，再根据待定系数法求解即可；

（2）设线段MN的长为L，点M的横坐标为x，用x的代数式表示出MN的长，再利用二次函数的性质即可得出结果；

（3）根据题意只需满足即可，而BC=2，根据（2）题的结论可得关于x的方程，解方程即可求出结果.

（1）令，则，即.

B为抛物线上的一点，轴，，

B点的横坐标为9，纵坐标为，即.

设直线AB的函数解析式为，将代入，得：

，解得：.

直线AB的函数解析式为.

（2）设线段MN的长为L，、，则

.

故线段MN长度的最大值为.

（3）若四边形MNCB是平行四边形，则需要，由点B、C的坐标可知，

，解得：或.

故当点Q的坐标为或时，四边形MNCB是平行四边形.