Question

在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.

（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点 F 为 AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD

（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点 F，G 均为 AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+ BC+CD.

Answer

（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；

（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；

（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；

（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=BC，即可得出结论．

（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠FAE，

在△ABE和△AFE中，

，

∴△ABE≌△AFE（SAS），

（2）∵△ABE≌△AFE，

∴∠AEB=∠AEF，BE=EF，

∵E为BC的中点，

∴BE=CE，

∴FE=CE，

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠DEF=∠DEC，

在△DEF和△DEC中，

，

∴△DEF≌△DEC（SAS），

∴DF=DC，

∵AD=AF+DF，

∴AD=AB+CD；

（Ⅱ）（1）∵E为BC的中点，

∴BE=CE=BC，

同（Ⅰ）（1）得：△ABE≌△AFE（SAS），

△DEG≌△DEC（SAS），

∴BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，

∵BE=CE，

∴FE=GE，

∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，

∴∠AEF+∠GED=60°，

∴∠GEF=60°，

∴△EFG是等边三角形，

（2）∵△EFG是等边三角形，

∴GF=EF=BE=BC，

∵AD=AF+FG+GD，

∴AD=AB+CD+BC．