Question

如图,在△ABC中,ACB=90°,DE是AB边的垂直平分线,与AC交于点D,与AB交于点E，M是BD的中点

(1)求证: CM= EM;

(2)当线段AC长度改变时, △CME与△ABD的面积之比是否发生变化?如果不变,求出比值;如果发生变化。说明如何变化.

Answer

(1)见解析（2）△CME与△ABD的面积之比＝1：4，理由见解析.

【解析】

（1）利用三角形的中位线定理条件直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．

（2）结论：△CME与△ABD的面积之比＝1：4．利用相似三角形的性质即可解决问题．

（1）证明：∵DE是AB边的垂直平分线，

∴AE＝BE，DB＝AD，

∵BM＝MD，

∴EM＝AD，

∵∠BCD＝90°，BM＝MD，

∴CM＝BD，

∴CM＝EM．

（2）【解析】
结论：△CME与△ABD的面积之比＝1：4．

理由：∵DE垂直平分线段AB，

∴DB＝DA，∵MC＝ME，

∴△MCE，△ADB都是等腰三角形，

∵EM∥AC，

∴∠MEC＝∠ECA，

∵∠ACB＝90°，BE＝EA，

∴∠ECA＝∠A，

∴∠MEC＝∠A，

∴△MEC∽△DAB，

∴．