Question

如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC

（1）填空：如图1，∠B＝　   　°，∠C＝　   　°；

（2）如图2，若M为线段BC上的点，过M作MH⊥AD，交AD的延长线于点H，分别交直线AB、AC与点N、E．

①求证：△ANE是等腰三角形；

②线段BN、CE、CD之间的数量关系是　   　．

Answer

（1）36；72；（2）①见解析；②CD＝BN+CE，理由见解析.

【解析】

（1）BA＝BC，且DB＝DA＝AC可得∠C＝∠ADC＝∠BAC＝2∠B，∠DAC＝∠B，在△ADC中由三角形内角和可求得∠B，∠C；

（2）①由（1）可知∠BAD＝∠CAD＝36°，且∠AHN＝∠AHE＝90°，可求得∠ANH＝∠AEH＝54°，可得AN＝AE；

②由①知AN＝AE，借助已知利用线段的和差可得CD＝BN+CE．

【解析】
（1）∵BA＝BC，

∴∠BCA＝∠BAC，

∵DA＝DB，

∴∠BAD＝∠B，

∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，

∴∠DAC＝∠B，

∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，

∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，

∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，

故答案为：36；72；

（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，

∴∠BAD＝36°，

在△ACD中，∵AD＝AC，

∴∠ACD＝∠ADC＝72°，

∴∠CAD＝36°，

∴∠BAD＝∠CAD＝36°，

∵MH⊥AD，

∴∠AHN＝∠AHE＝90°，

∴∠AEN＝∠ANE＝54°，

即△ANE是等腰三角形；

②CD＝BN+CE．

证明：由①知AN＝AE，

又∵BA＝BC，DB＝AC，

∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，

∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，

即CD＝BN+CE