Question

为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．

（1）劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；

（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元．

①A型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

Answer

（1）20%；（2）①40；②不能．

【解析】

试题（1）该每套A型健身器材年平均下降率n，则第一次降价后的单价是原价的（1﹣x），第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．

（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答；

②设总的养护费用是y元，则根据题意列出函数y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）=﹣0.1m+14.4．结合函数图象的性质进行解答即可．

试题解析：（1）依题意得：2.5（1﹣n）2=1.6，

则（1﹣n）2=0.64，

所以1﹣n=±0.8，

所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合题意，舍去）．

答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；

（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，

依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，

整理，得

1.6m+96﹣1.2m≤1.2，

解得m≤40，

即A型健身器材最多可购买40套；

②设总的养护费用是y元，则

y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m），

∴y=﹣0.1m+14.4．

∵﹣0.1＜0，

∴y随m的增大而减小，

∴m=40时，y最小．

∵m=40时，y最小值=﹣01×40+14.4=10.4（万元）．

又∵10万元＜10.4万元，

∴该计划支出不能满足养护的需要．