Question

已知，抛物线y＝ax²+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

Answer

（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】

（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；

（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．

【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=-2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，

∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；

（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），

∴0=2×1+m，解得m=-2，

∴y=2x-2，

则，

得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

∴（x-1）（ax+2a-2）=0，

解得x=1或x=-2，

∴N点坐标为（-2，-6），

∵a＜b，即a＜-2a，

∴a＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，

∴E（-，-3），

∵M（1，0），N（-2，-6），

设△DMN的面积为S，

∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，

（3）当a=-1时，

抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，

由，

-x2-x+2=-2x，

解得：x1=2，x2=-1，

∴G（-1，2），

∵点G、H关于原点对称，

∴H（1，-2），

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，

-x2-x+2=-2x+t，

x2-x-2+t=0，

△=1-4（t-2）=0，

t=，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），

把（1，0）代入y=-2x+t，

t=2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．