Question

如图，已知：抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB=2CO.

(1)求二次函数解析式；

(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)    抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y；（2）；（3）（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）

【解析】

（1）利用待定系数法求出A、B、C的坐标，然后把B点坐标代入，求出a 的值，并化简二次函数式即可；

（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2-m），可得， GM=，利用矩形MNHG的周长=2MN+2GM，化简可得，即当时，C有最大值，最大值为，

（3）分三种情况讨论：①点P在AB的下方，②点P在AB的上方，③以AB为直径作圆与对称轴交，分别讨论得出结果即可.

（1）对于抛物线y=a（x+1）（x-3），

令y=0，得到a（x+1）（x-3）=0，

解得x=-1或3，

∴C（-1，0），A（3，0），

∴OC=1，

∵OB=2OC=2，

∴B（0，2），

把B（0，2）代入y=a（x+1）（x-3）中得：2=-3a，a=-

∴二次函数解析式为

（2）设点M的坐标为（m，），

则点N的坐标为（2-m，），

， GM=

矩形MNHG的周长 C=2MN+2GM

=2（2m-2）+2（）

=

=

∴当时，C有最大值，最大值为，

（3）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA=3，OB=2，
由对称得：抛物线的对称轴是：x=1，
∴AE=3-1=2，
设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：

①如图1，

当∠BAP=90°时，点P在AB的下方，
∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PAE=∠ABO，
∵∠AOB=∠AEP，
∴△ABO∽△PAE，
∴ ，即，

∴PE=3，
∴P（1，-3）；
②如图2，

当∠PBA=90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，
同理得：△PFB∽△BOA，

∴，即，

∴

∴，

∴P（1，）；

③如图3，

以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B=∠AP2B=90°，
设P1（1，y），
∵AB2=22+32=13，
由勾股定理得：AB2=P1B2+P1A2，
∴，
解得：，

∴P（1，1+）或（1，1-）

综上所述，点P的坐标为（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）