Question

图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．

(1)求点M离地面AC的高度BM；

(2)设人站立点C与点A的水平距离AC=55 cm，求铁环钩MF的长度．

Answer

（1）BM=5cm；（2）MF=50cm．

【解析】

（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；

（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因为sin∠MOA=，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=HN-HM，利用勾股定理即可求出FM的长．

过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N，

（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，

HM=OM×sinα=15，

所以OH=20，

MB=HA=25-20=5，

所以点M距地面的高度BM为5cm；

（2）∵铁环钩与铁环相切，

∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，

∴=sin∠MOA=，

∴FN=FM，

在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40，

∵FM2=FN2+MN2，

即FM2=（FM）2+402，

解得：FM=50，

∴铁环钩的长度FM为50cm．