Question

已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．

（Ⅰ）若数列的前项和为,且,,求整数的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；

（Ⅲ）若（其中，且（）是（）的约数），

求证：数列中每一项都是数列中的项.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）由题意知，，所以由，

得……3分

解得，又为整数，所以………………………………………………………5分

（Ⅱ）假设数列中存在一项，满足，

因为，∴（*）…………8分

  又

=，所以，此与（*）式矛盾. 所以，这要的项不存在……11分

（Ⅲ）由，得，则 ………………12分

  又，

  从而，因为，所以，又，

故. 又,且（）是（）的约数,所以是整数,且………14分

  对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有

，

由于是正整数，所以一定是数列的项……………16分