Question

 已知函数，．（e=2.718…)

（I）求函数的极大值；

（II ）求证：；

   （Ⅲ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得 和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

 本题主要考查指、对函数及其性质、导数的基本知识及用导数处理函数性质，及不等式等的综合问题，同时考查考生分类讨论思想方法及化归和探索论证的能力．满分14分

【解析】
（Ⅰ）∵，∴．……1分

       令，解得：，令，解得：，…………………2分

∴函数在上递增，上递减，∴．……4分                  

   （Ⅱ）证明：由（1）知是函数极大值点,也是最大值点， ∴，

即，（当且仅当时等号成立）…………5分

   令得：， 取，

则，………………………………………………7分

∴，

    迭加得…………8分

（Ⅲ）设，

则．

∴当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

∴是函数的极小值点，也是最小值点，∴

∴函数与的图象在处有公共点．………………9分

设与存在 “分界线”且方程为：．

令函数，

ⅰ）由在恒成立，

即在上恒成立，

∴成立，

∴，故．……………………………………11分

ⅱ）下面再证明：恒成立．

 设，则．

 ∴当时，，函数单调递增；当时，．函数单调递减．

 ∴时取得最大值0，则成立．…………13分

综上ⅰ）和ⅱ）知：且，

故函数与存在分界线为，此时．…………14分

另【解析】
令则，探究得两函数图象的交点为，

      设存在“分界线”且为：，令函数，

     再证：恒成立；恒成立。。。。。证法同上ⅰ）和ⅱ）．