Question

右图是一个直三棱柱（以为底面）被

B

一平面所截得到的几何体，截面为．

已知,   ，

   .

（Ⅰ）设点是的中点，证明：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer

 【解析】
法一：

（Ⅰ）证明：作交于，连．……（1分）

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．……………………（3分）

平面且平面，

则面．                        ……………………（5分）

（Ⅱ）如图，过作截面面，分别交于．

作于，连．                   ……………………（7分）

因为面，所以，则平面．

又因为．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

                                                ……………………（9分）

因为，所以，故，………（11分）

即：所求二面角的大小为．                     ……………………（12分）

法二：

（Ⅰ）如图，以为原点建立空间直角坐标系，   ………………（1分）

则      

因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．   ……（3分）

因为平面，

所以平面．                       ………………（5分）

（Ⅱ），

设是平面的一个法向量，则得：

取．                   ……………………（7分）

显然，为平面的一个法向量．  ……………………（9分）

则，                   ……………………（11分）

结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．         ……………………（12分）