Question

 已知二次函数f(x)=ax²+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点，

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)= f(x)++x²在 (0，]上是单调减函数，求实数k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由。

′

Answer

 【解析】
(1)f(x+1) =a(x+1) 2+b(x+1) = ax 2+(2a+b)x+a+b为偶函数，

∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f(x)=ax2-2ax，…………………………………………………………2′

∵函数f(x)有且仅有一个不动点，∴方程f(x)=x有且仅有一个解，∴ax2-(2a+1)x=0有且仅有一个解，∴2a+1=0，a=-，∴f(x)= -x2+x…………………………………………………5′

(2) g(x)= f(x)++x2=x+在 (0，]上是单调增函数，

当k0时，g(x)= x+在(0，+)上是单调增函数，∴不成立；……………………………7′

当k>0时，g(x)= x+在(0，]上是单调减函数，∴，∴k…………………10′

(3) ∵f(x)= -x2+x= -(x-1)2+，∴kn，∴n<1，

∴f(x)在区间[m，n]上是单调增函数…………………………………………………………11′

∴，即，方程的两根为0，2-2k………………12′

当2-2k>0，即k<1时，[m，n]= [0，2-2k]………………………………………………13′

当2-2k<0，即k>1时，[m，n]= [2-2k，0]……………………………………………………14′

当2-2k=0，即k=1时，[m，n] 不存在…………………………………………………………15′