Question

 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°。

（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；      

（2）求直线A₁C与平面BCC₁B所成角的正切值；

（3）求点C₁到平面A₁CB的距离。

A1

B1

C1

B

A

C

Answer

 （1）证：因为四边形BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1。∵BC平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1。

（2）【解析】
过A1作A1D⊥B1B于D，连接DC，∵BC⊥平面A1ABB1，

∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角。∵CB=3，AB=4，∴A1D=，∴tan∠A1CD=

（3）∵B1C1∥BC1，∴B1C1∥平面A1BC，∴C­1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离。连结AB1，AB­1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B，∵CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即为C1到平面A1BC的距离。∵B1O=，∴C1到平面A1BC的距离为。