Question

已知函数，曲线在处的切线为l：．

   （1）若时，函数有极值，求函数的解析式；

   （2）若函数，求的单调递增区间（其中）．

Answer

【解析】
（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得

f′（x）＝3x2＋2ax＋b． 

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0．  ①

当x＝时，y＝f（x）有极值，则f′＝0，

可得4a＋3b＋4＝0．  ②

由①、②解得a＝2，b＝－4．

由于l上的切点的横坐标为x＝1，

∴f（1）＝4．  ∴1＋a＋b＋c＝4． 

∴c＝5． 

则f（x）＝x3＋2xx＋5．                          …………………6分

（2）由（1）得，，

．

则．

①当时，恒成立，在R上单调递增；

②当时，令，解得或，

的单调递增区间是和；

③当时，令，解得或

的单调递增区间是和．         ……………………12分