Question

 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

Answer

 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查想象能力和运算求解能力。满分15分。

        方法以：

      （Ⅰ）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz

          则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0）

P（0,0,4）由此可得所以

⊥，即AP⊥BC.

（Ⅱ）【解析】
设

设平面BMC的法向量

平面APC的法向量

由

得

即可取

由即得可取

由，得

解得，故AM=3

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（Ⅰ）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,

      又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC。

      因为PO∩BC=0，所以BC⊥平面PAD

故BC⊥PA.

（Ⅱ）【解析】
如图，在平面PAD内作BM⊥PA于M,连CM.

    由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.

    又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。

    在Rt⊿ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=

在Rt⊿POD中, PB2=PO2+OD2,

在Rt⊿PDB中, PB2=PD2+BD2,

所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.

在Rt⊿POA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5

又

从而所以

综上所述，存在点M符合题意，AM=3.