Question

 本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。

如图，在四面体中，平面 ⊥ , ⊥,=,∠=

 （Ⅰ）若=2，=2，求四边形的体积。

 （Ⅱ）若二面角--为，求异面直线与所成角的余弦值。       

Answer

 解析：（Ⅰ）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF⊥AC.

故由平面 ⊥ ,知DF⊥平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.

故四面体ABCD的体积

   （Ⅱ）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而是异面直线与所成角或其补角。

设E为边AB的中点，则EF//BC,由⊥，知⊥，又由（Ⅰ）有DF⊥平面，故由三垂线定理知⊥,所以为二面角--的平面角,由题设知，设AD=a，则DF=ADsinCAD=

在中，，

从而

因，故BD=AD=a.从而，在中，,又

,从而在中，因FG=FH，由余弦定理得,

故异面直线与所成角的余弦值为