Question

（本小题满分10分） 如图，已知椭圆C：，经过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．（I）是否存在，使对任意，总有成立？若存在，求出所有的值；

（II）若，求实数的取值范围．

Answer

（1）

（2）且k≠0

【解析】【解析】
（1）椭圆C：

直线AB：y＝k（x－m）,                                          

，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0．  

设A（x1, y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝，x1x2＝   

则xm＝             

若存在，使为ON的中点，∴．

∴，

即N点坐标为．                           

由N点在椭圆上，则    

即5k4－2k2－3＝0．∴或（舍）．

故存在，使． ··········5分                             

（2）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）

＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2

＝（1＋k2）·     

由得    

即k2－15≤－20k2－12，且k≠0．··········10分