Question

(本小题满分16分)

已知数列和，对一切正整数n都有：

成立．

 （Ⅰ）如果数列为常数列，，求数列的通项公式；

 （Ⅱ）如果数列的通项公式为，求证数列是等比数列．

（Ⅲ）如果数列是等比数列，数列是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）．

（Ⅱ）数列是4为首项，公比为3的等比数列． 

（Ⅲ）   …

     若时，，数列为等差数列．

     若时，∵a2－a1≠a3－a2 ,

∴，不是等差数列．

     故时，数列为等差数列；时数列不为等差数列……16分

【解析】（本小题满分16分）

（Ⅰ），由已知得：，

     将用迭代得：．（）

      两式相减得：，当时，适合

      ∴数列的通项公式为．       ………………4分

（Ⅱ），由已知得：，

      将用迭代得：．（n≥2）

      两式相减得：，   ………………………7分     

将用迭代得：．

      两式相减得：，经检验也适合．

      所以数列的通项公式为．

故数列是4为首项，公比为3的等比数列．    ………………10分

（Ⅲ）设数列的首项为，公比为，由已知得：

     即：

     即：

     所以：    ………………………13分

     若时，，数列为等差数列．

     若时，∵a2－a1≠a3－a2 ,

∴，不是等差数列．

     故时，数列为等差数列；时数列不为等差数列……16分