Question

（本题满分15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。

   （1）求a₁和a₂的值；

   （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；

   （3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n

Answer

（1）a2=4 （2）bn=2n-1，an=2n                                      

             （3）Tn=(2n-3)2n+1+6              

【解析】（1）∵an是Sn与2的等差中项

       ∴Sn=2an-2               ∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2

         a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4                                                                           

   （2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，

       又Sn—Sn-1=an，

       ∴an=2an-2an-1，

       ∵an≠0，

       ∴，即数列{an}是等比数列∵a1=2，∴an=2n

       ∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，∴bn+1-bn=2，

即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1

   （3）∵cn=(2n-1)2n

       ∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，

       ∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

       因此：-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，

       即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，

       ∴Tn=(2n-3)2n+1+6