Question

（本小题满分12分）

已知函数，其定义域为（）,设.

（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）证明见解析。

【解析】

（Ⅰ）因为……1分

由；由,所以在上递增,在上递减……3分

要使在上为单调函数,则……4分

（Ⅱ）.

因为在上递增,在上递减，所以在处取得极小值……6分

 又，所以在上的最小值为 ……8分

 从而当时,，即……9分

（Ⅲ）证：因为，所以，即为,

   令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数……10分

   因为,,所以 ①当时,,所以在上有解,且只有一解……12分

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解……13分

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解……14分

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意.