Question

（本题12分）已知集合是同时满足下列两个性质的函数组成的集合：

①在其定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在的定义域内存在区间，使得在上的值域是．

(1)判断函数是否属于集合？并说明理由．若是，则请求出区间；

(2)若函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数属于集合，且这个区间是

（2）

【解析】

【解析】
(1)的定义域是，    在上是单调增函数．

设在上的值域是．由  解得：

故函数属于集合，且这个区间是

 (2) 设，则易知是定义域上的增函数．

  ，存在区间，满足，．

即方程在内有两个不等实根．

[法1]：方程在内有两个不等实根，令则其化为:

即有两个非负的不等实根,

从而有:；

[法2]：要使方程在内有两个不等实根，

即使方程在内有两个不等实根．

如图，当直线经过点时，，

当直线与曲线相切时，

方程两边平方，

得，由，得．

因此，利用数形结合得实数的取值范围是．