Question

（本题满分8分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y．

(Ⅰ)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(Ⅱ)当AE为何值时，绿地面积最大？

Answer

(Ⅰ) y＝－2x2＋(a＋2)x，其定义域为

(Ⅱ) 当a<6时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4．

【解析】解：（1）SΔAEH＝SΔCFG＝x2，SΔBEF＝SΔDGH＝(a－x)(2－x)．   ……1分

∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x． ……3分

由 ，得

∴y＝－2x2＋(a＋2)x，其定义域为．    ……4分

（2）当，即a<6时，则x＝时，y取最大值．    ……6分

当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4    ．    ……8分

综上所述：当a<6时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4．