Question

（本小题满分12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

   （I）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

   （II）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，求满足的事件概率；

   （III）从最后三组中任取3名学生参加学校篮球队，用表示从第八组中取到的人数，求的分布列及其数学期望。

Answer

（1）略（2）（3）

【解析】（I）由直方图知,前五组频率为，

后三组频率为，

人数为（人）………………………………2分

由直方图得第八组频率为：

0.008×5=0.04，

人数为0.04×50=2（人）  …………2分

设第六组人数为m，则第七组人数为

，

又m+2=2(7－m),∴m=4 …………3分

所以第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别等于0.08，0.06 …………4分

分别等于0.016，0.012，（画图如上）       …………5分

   （II）由（I）知身高在内的人数为4人，设为.

身高在的人数为2人，设为.

若时，有共六种情况．

若时，有共一种情况．

若分别在内时，

有共8种情况

∴基本事件的总数为种 …………………2分

事件所包含的基本事件个数有种，  …………7分

∴  ……………………14分

    解法二：由（I）知身高在内的人数为4人，

身高在的人数为2人，

则从这两组的所有男生中随机抽取两名男生共有种方法，…………6分

    而事件“”要求这两名男生都是第六组或者都是第八组，

    则其包含的事件数有   ………………7分

       …………8分

   （III）的分布列为：

0

1

2

P（）

                                                   ………………11分

       …………11分